Logika Matematika (part 1)

A. Pengertian
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar yang baik. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu.

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

1. Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti. Pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Benar atau salah maksudnya sesuai dengan keadaan yang sebenarnya. Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya. Pernyataan disebut juga dengan proposisi atau kalimat deklaratif.

Contoh :
Kambing adalah hewan pemakan tumbuhan. (benar)
4 + 5 = 12. (salah)
Tujuh adalah bilangan prima. (benar)
Setiap pernyataan adalah kalimat, namun setiap kalimat belum tentu pernyataan. Kalimat-kalimat yang bukan pernyataan adalah kalimat-kalimat yang tidak atau belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, seperti kalimat Tanya, kalimat perintah, dan kalimat seru.
Contoh :
Apakah kamu mencintaiku?
Panggilkan kakakmu!
Aduh, perutku sakit.
Negasi adalah pernyataan baru yang bernilai benar jika pernyataan semula salah, dan bernilai salah jika pernyataan semula benar. Negasi p dinyatakan dengan ~p atau p ̅.

2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih memuat variable. Variabel adalah lambing yang digunakan untuk mewakili anggota sembarangan dari suatu semesta pembicaraan.
Contoh :
5x + 4 = 10
6 log x = 3
3 – 6x < 65
Suatu kalimat terbuka dapat berubah menjadi pernyataan apabila variabelnya diganti dengan suatu konstanta, yaitu lambing yang digunakan untuk mewakili anggota tertentu dari suatu semesta pembicaraan. Konstanta pengganti variable yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar disebut penyelesaian kalimat terbuka atau penyelesaian. Kumpulan semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian.

3. Kata Hubung Logika dan Ingkaran
Jika terdapat dua pernyataan atau lebih, kita dapat membentuk sebuah pernyataan baru dengan menggunakan kata hubung logika. Pernyataan-pernyataan yang dengan menggunakan kata hubung logika dinamakan pernyataan majemuk atau pernyataan komposisi, sedangkan pernyataan-pernyataan yang membentuk pernyataan majemuk disebut komponen pernyataan majemuk. Nilai kebenaran pernyataan majemuk hanya ditentukan oleh nilai kebenaran komponen-komponen pembentuknya dan tidak diharuskan adanya hubungan antarkomponen pembentuknya.
Selain menggunakan kata hubung logika, pernyataan baru juga dapat dibentuk dari ingkaran pernyataan semula dengan menggunakan negasi. Negasi adalah pernyataan baru yang bernilai benar jika pernyataan semula salah, dan bernilai salah jika pernyataan semula benar. Negasi p dinyatakan dengan ~p atau p ̅.
Contoh :
Nadia sedang membaca buku
Semua guru menyenangkan
Pernyataan tersebut dapat dibentuk menjadi kalimat baru yang merupakan negasi dari pernyataan semula, yaitu dengan menambahkan kata “tidak” atau “tidak benar bahwa” di tempat yang sesuai menurut tata Bahasa Indonesia yang baik dan benar. Ingkaran dari pernyataan di atas adalah sebagai berikut :
Nadia tidak sedang membaca buku
Tidak semua guru menyenangkan.